Paprastųjų mechanizmų naudingumo koeficientas

Kilnojamuoju skridiniu jėgos laimime 2 kartus, todėl pagal auksinę mechanikos taisyklę tiek pat kartų pralaimime kelio: kroviniui pakilus aukščiu $h$, virvės galas nueina dvigubai ilgesnį kelią.

$$s=2h=2\cdot 12\mathrm{m}=24\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Darbininko atliktas darbas:

$$A=F\cdot s=250\mathrm{N}\cdot 24\mathrm{m}=6000\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Krovinio sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}}=mg=150\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=1500\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Trinties ir sverto masės nepaisome, todėl galioja auksinė mechanikos taisyklė:

$$F_{\mathrm{s}}\cdot h=F\cdot s\mathrm{.}$$

Iš čia

$$s=\frac{F_{\mathrm{s}}\cdot h}{F}=\frac{1500\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,1}\mathrm{m}}{300\mathrm{N}}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Jėgos laimime 5 kartus, todėl kelio pralaimime 5 kartus: $\mathrm{0,1}\mathrm{m}\cdot 5=\mathrm{0,5}\mathrm{m}$.

Nekilnojamuoju skridiniu keičiama tik jėgos kryptis: virvės galas nueina tiek pat, kiek pakyla kibiras, $s=h=10\mathrm{m}$.

Naudingasis darbas (kibirui pakelti):

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=\mathrm{24,5}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{m}=2450\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Visas darbas:

$$A_{\mathrm{v}}=F\cdot s=250\mathrm{N}\cdot 10\mathrm{m}=2500\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Naudingumo koeficientas:

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{2450\mathrm{J}}{2500\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}=98\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Dinamometras rodo jėgą, kuria traukiamas tašelis: $F=40\mathrm{N}$. Aukštis $h=30\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,3}\mathrm{m}$.

Naudingasis darbas:

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=15\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,3}\mathrm{m}=45\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Visas darbas (tašelis nutempiamas visu plokštumos ilgiu):

$$A_{\mathrm{v}}=F\cdot l=40\mathrm{N}\cdot \mathrm{1,8}\mathrm{m}=72\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{45\mathrm{J}}{72\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{62,5}\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Aukštis nežinomas, bet jo ir nereikia. Pažymėkime jį $h$. Kilnojamuoju skridiniu virvės galas nueina $s=2h$.

$$A_{\mathrm{n}}=mgh,A_{\mathrm{v}}=F\cdot s=F\cdot 2h\mathrm{.}$$

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{mgh}{F\cdot 2h}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{mg}{2F}\cdot 100\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Aukštis $h$ susiprastina:

$$\eta =\frac{54\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}{2\cdot 360\mathrm{N}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{540\mathrm{N}}{720\mathrm{N}}\cdot 100\mathrm{\%}=75\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Naudingasis darbas:

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=600\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}=12000\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Iš $\eta ={\displaystyle \frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}}$ (kai $\eta =80\mathrm{\%}=\mathrm{0,8}$) randame visą darbą:

$$A_{\mathrm{v}}=\frac{A_{\mathrm{n}}}{\eta }=\frac{12000\mathrm{J}}{\mathrm{0,8}}=15000\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Visas darbas $A_{\mathrm{v}}=F\cdot l$, todėl

$$F=\frac{A_{\mathrm{v}}}{l}=\frac{15000\mathrm{J}}{5\mathrm{m}}=3000\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Visas atliktas darbas $A_{\mathrm{v}}=\mathrm{2,1}\mathrm{k}\mathrm{J}=2100\mathrm{J}$.

Naudingasis darbas (kroviniui pakelti į $3\mathrm{m}$ aukštį):

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=50\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 3\mathrm{m}=1500\mathrm{J}\mathrm{.}$$

a) Likusi viso darbo dalis atliekama trinčiai nugalėti:

$$A_{\mathrm{v}}-A_{\mathrm{n}}=2100\mathrm{J}-1500\mathrm{J}=600\mathrm{J}\mathrm{.}$$

b) Krovinys traukiamas visu plokštumos ilgiu, $A_{\mathrm{v}}=F\cdot l$:

$$F=\frac{A_{\mathrm{v}}}{l}=\frac{2100\mathrm{J}}{7\mathrm{m}}=300\mathrm{N}\mathrm{.}$$

c)

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{1500\mathrm{J}}{2100\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}\approx 71\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Abiem atvejais krovinys pakeliamas į tą patį aukštį, todėl naudingasis darbas vienodas:

$$A_{\mathrm{n}}=F_{\mathrm{s}}\cdot h=500\mathrm{N}\cdot \mathrm{1,5}\mathrm{m}=750\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Be to, visu plokštumos ilgiu reikia nugalėti trintį. Tam atliekamas darbas $F_{\mathrm{t}\mathrm{r}}\cdot l$, todėl visas darbas

$$A_{\mathrm{v}}=A_{\mathrm{n}}+F_{\mathrm{t}\mathrm{r}}\cdot l\mathrm{.}$$

$3\mathrm{m}$ ilgio plokštuma:

$$A_{\mathrm{v}}=750\mathrm{J}+50\mathrm{N}\cdot 3\mathrm{m}=900\mathrm{J},F=\frac{A_{\mathrm{v}}}{l}=\frac{900\mathrm{J}}{3\mathrm{m}}=300\mathrm{N},\eta =\frac{750\mathrm{J}}{900\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}\approx 83\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

$5\mathrm{m}$ ilgio plokštuma:

$$A_{\mathrm{v}}=750\mathrm{J}+50\mathrm{N}\cdot 5\mathrm{m}=1000\mathrm{J},F=\frac{A_{\mathrm{v}}}{l}=\frac{1000\mathrm{J}}{5\mathrm{m}}=200\mathrm{N},\eta =\frac{750\mathrm{J}}{1000\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}=75\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

a) Ilgesne ($5\mathrm{m}$) plokštuma reikia mažesnės jėgos. b) Trumpesnės ($3\mathrm{m}$) plokštumos naudingumo koeficientas didesnis: ilgesne plokštuma trintis nugalima ilgesniu keliu, todėl daugiau darbo atliekama nenaudingai.

A – neteisinga: pagal auksinę mechanikos taisyklę paprastaisiais mechanizmais darbo nelaimime.

B – teisinga: dalis viso darbo atliekama trinčiai nugalėti ir mechanizmo dalims kelti, todėl $A_{\mathrm{n}}<A_{\mathrm{v}}$.

C – neteisinga: naudingumo koeficientas matavimo vieneto neturi, dažniausiai reiškiamas procentais.

D – neteisinga: kuo didesnė trintis, tuo daugiau darbo atliekama nenaudingai, todėl naudingumo koeficientas mažesnis.

Aukštis $h=50\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}$.

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=80\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,5}\mathrm{m}=400\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$A_{\mathrm{v}}=F\cdot l=200\mathrm{N}\cdot 4\mathrm{m}=800\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{400\mathrm{J}}{800\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}=50\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Krovinio svoris (sunkio jėga) $F_{\mathrm{s}}=30\mathrm{k}\mathrm{N}$. Kilnojamuoju skridiniu lyno galas nueina dvigubai ilgesnį kelią:

$$s=2h=2\cdot \mathrm{6,6}\mathrm{m}=\mathrm{13,2}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

$$A_{\mathrm{n}}=F_{\mathrm{s}}\cdot h=30000\mathrm{N}\cdot \mathrm{6,6}\mathrm{m}=198000\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$A_{\mathrm{v}}=F\cdot s=16000\mathrm{N}\cdot \mathrm{13,2}\mathrm{m}=211200\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{198000\mathrm{J}}{211200\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}\approx 94\mathrm{\%}\mathrm{.}$$