Paprastųjų mechanizmų kartojimas

Jėga statmena vartams, todėl jos petys lygus atstumui nuo vyrių iki rankenos: $l=\mathrm{0,9}\mathrm{m}$.

$$M=F\cdot l,F=\frac{M}{l}=\frac{36\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{0,9}\mathrm{m}}=40\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Strypas pusiausviras, kai abiejų jėgų momentai lygūs:

$$F_1\cdot l_1=F_2\cdot l_2\mathrm{.}$$

$$45\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,2}\mathrm{m}=F\cdot \mathrm{0,6}\mathrm{m},F=\frac{45\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,2}\mathrm{m}}{\mathrm{0,6}\mathrm{m}}=15\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Dešiniosios jėgos petys 3 kartus ilgesnis, todėl jėga 3 kartus mažesnė.

a) Jėgos veikimo linija – tiesė, nubrėžta per pedalo ašį jėgos $\vec{F}$ kryptimi (ją reikia pratęsti už rodyklės galo). Jėgos petys – statmuo, nuleistas iš ašies $O$ į veikimo liniją (žr. brėžinį).

b) Statmuo baigiasi langelių kampe, kuris yra 3 langeliais dešiniau ir 4 langeliais žemiau taško $O$. Išmatavę liniuote (arba iš stačiojo trikampio, kurio statiniai 3 ir 4 langeliai) gauname, kad petys lygus 5 langelių kraštinėms:

$$l=5\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{12,5}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,125}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Atkreipkite dėmesį: petys trumpesnis už švaistiklio ilgį, nes jėga nėra statmena švaistikliui.

c)

$$M=F\cdot l=200\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,125}\mathrm{m}=25\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\mathrm{.}$$

Velenas sukasi apie rąsto ašį. Jėga statmena rankenai, todėl jos petys lygus rankenos ilgiui: $l_1=50\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}$.

Kibirą laikanti virvė nusileidžia nuo rąsto paviršiaus vertikaliai žemyn, todėl atstumas nuo ašies iki jos lygus rąsto spinduliui $r$. Tai ir yra kibiro sunkio jėgos petys. Jį randame iš momentų taisyklės.

Vandens tūris $V=10$ litrų $=10\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=\mathrm{0,01}{\mathrm{m}}^3$, vandens tankis $\rho =1000\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^3$:

$$m_{\mathrm{v}}=\rho V=1000\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{0,01}{\mathrm{m}}^3=10\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$

Kibiro su vandeniu masė ir sunkio jėga:

$$m=2\mathrm{k}\mathrm{g}+10\mathrm{k}\mathrm{g}=12\mathrm{k}\mathrm{g},F_{\mathrm{s}}=mg=12\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=120\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Kibiras keliamas tolygiai, todėl jėgų momentai lygūs:

$$F\cdot \mathrm{0,5}\mathrm{m}=F_{\mathrm{s}}\cdot r,r=\frac{30\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,5}\mathrm{m}}{120\mathrm{N}}=\mathrm{0,125}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

a) Vamzdžio sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}}=mg=50\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=500\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Vamzdis vienalytis, todėl sunkio jėga veikia jo viduryje, $2\mathrm{m}$ atstumu nuo galų. Keliant vieną galą, vamzdis sukasi apie kitą, ant žemės likusį galą $O$. Jėgos $F$ petys lygus vamzdžio ilgiui $4\mathrm{m}$, sunkio jėgos petys $2\mathrm{m}$ (žr. brėžinį):

$$F\cdot 4\mathrm{m}=500\mathrm{N}\cdot 2\mathrm{m},F=250\mathrm{N}\mathrm{.}$$

b) Jei vamzdžio ilgis $L$, sunkio jėgos petys visada $L\mathrm{/}2$:

$$F\cdot L=F_{\mathrm{s}}\cdot \frac{L}{2},F=\frac{F_{\mathrm{s}}}{2}\mathrm{.}$$

Jėga lygi pusei vamzdžio sunkio ir nuo ilgio nepriklauso, todėl dvigubai ilgesnio tos pačios masės vamzdžio galui pakelti reikėtų tos pačios $250\mathrm{N}$ jėgos.

a) Stumiama į dešinę, spinta galėtų apvirsti tik pasisukdama apie dešinįjį pagrindo kraštą $O$ (žr. brėžinį).

Jėgos $F$ petys – atstumas nuo $O$ iki jos veikimo linijos, t. y. $\mathrm{0,8}\mathrm{m}$ aukštis:

$$M_F=250\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{m}=200\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\mathrm{.}$$

Sunkio jėga veikia spintos viduryje, todėl jos petys lygus pusei pagrindo kraštinės, $\mathrm{0,4}\mathrm{m}$:

$$F_{\mathrm{s}}=mg=60\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=600\mathrm{N},M_{\mathrm{s}}=600\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,4}\mathrm{m}=240\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\mathrm{.}$$

Jėgos $F$ momentas spintą verčia, o sunkio jėgos momentas grąžina atgal. Kadangi $200\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}<240\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, spinta neapvirs.

b) Spinta pradės virsti, kai jėgos $F$ momentas bus lygus sunkio jėgos momentui:

$$F\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{m}=240\mathrm{N}\cdot \mathrm{m},F=\frac{240\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{0,8}\mathrm{m}}=300\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Didesnė nei $300\mathrm{N}$ jėga spintą apvers.

a) Sverto taisyklė:

Mažesnės jėgos petys $l_1=30\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,3}\mathrm{m}$.

$$F_1\cdot l_1=F_2\cdot l_2,4\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,3}\mathrm{m}=12\mathrm{N}\cdot l_2,l_2=\frac{4\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,3}\mathrm{m}}{12\mathrm{N}}=\mathrm{0,1}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

b) Jėgos veikia sverto galus, atrama tarp jų, todėl sverto ilgis lygus pečių sumai:

$$L=\mathrm{0,3}\mathrm{m}+\mathrm{0,1}\mathrm{m}=\mathrm{0,4}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

a) Lazda – svertas, kurio atrama yra žmogaus petys. Pažymėkime $x$ atstumą nuo sunkesniojo ($60\mathrm{N}$) ryšulio iki peties. Tada lengvesniojo ryšulio petys $\mathrm{1,5}\mathrm{m}-x$. Sverto taisyklė:

$$60\mathrm{N}\cdot x=30\mathrm{N}\cdot (\mathrm{1,5}\mathrm{m}-x)\mathrm{.}$$

$$60x=45-30x,90x=45,x=\mathrm{0,5}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Patikra: $60\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,5}\mathrm{m}=30\mathrm{N}\cdot \mathrm{1,0}\mathrm{m}=30\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Sunkesnis ryšulys 2 kartus sunkesnis, todėl jo petys 2 kartus trumpesnis.

b) Lazda lengva ir pusiausvira, todėl petys turi laikyti abu ryšulius:

$$60\mathrm{N}+30\mathrm{N}=90\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Tokia pat jėga lazda spaudžia žmogaus petį.

Kiek strypas slegia atramą, tiek pat atrama veikia strypą aukštyn. Strypą veikia: krovinio svoris $1200\mathrm{N}$ žemyn, atramos $A$ jėga $400\mathrm{N}$ aukštyn ir atramos $B$ jėga aukštyn.

Laikykime, kad strypas gali suktis apie atramą $B$. Tada atramos $B$ jėgos petys lygus nuliui, o atramos $A$ jėgos petys – visas strypo ilgis $6\mathrm{m}$. Pažymėkime $x$ krovinio atstumą nuo $B$:

$$400\mathrm{N}\cdot 6\mathrm{m}=1200\mathrm{N}\cdot x,x=\frac{2400\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{1200\mathrm{N}}=2\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Krovinį reikia prikabinti $2\mathrm{m}$ nuo $B$, t. y. $6\mathrm{m}-2\mathrm{m}=4\mathrm{m}$ nuo $A$.

Abi atramos kartu laiko visą krovinį, todėl atramą $B$ jis slegia

$$1200\mathrm{N}-400\mathrm{N}=800\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Patikra apie atramą $A$: $800\mathrm{N}\cdot 6\mathrm{m}=1200\mathrm{N}\cdot 4\mathrm{m}=4800\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Krovinys arčiau $B$, todėl $B$ slegiama labiau.

a) Skridinys 1 kyla kartu su kroviniu – kilnojamasis. Skridinio 2 ašis pritvirtinta prie lubų – nekilnojamasis (jis tik pakeičia jėgos kryptį).

b) Krovinio sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}}=mg=46\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=460\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Kilnojamąjį skridinį su kroviniu laiko dvi virvės atkarpos, o visoje virvėje įtempimo jėga vienoda:

$$F=\frac{F_{\mathrm{s}}}{2}=\frac{460\mathrm{N}}{2}=230\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Kartu su kroviniu keliamas ir pats skridinys. Jo sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}\mathrm{k}}=mg=2\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=20\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Dvi virvės atkarpos laiko krovinį ir skridinį kartu:

$$2F=380\mathrm{N}+20\mathrm{N}=400\mathrm{N},F=200\mathrm{N}\mathrm{.}$$

a) Pirmojo krovinio sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}1}=12\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=120\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Sistema nejuda, todėl per nekilnojamąjį skridinį permestos virvės įtempimo jėga visoje virvėje $120\mathrm{N}$ (jėgos pavaizduotos brėžinyje). Šios virvės dvi atkarpos laiko viršutinį kilnojamąjį skridinį, todėl jo laikiklis traukia antrąją virvę jėga

$$2\cdot 120\mathrm{N}=240\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Antrosios virvės dvi atkarpos laiko apatinį kilnojamąjį skridinį su antruoju kroviniu:

$$F_{\mathrm{s}2}=2\cdot 240\mathrm{N}=480\mathrm{N},m_2=\frac{480\mathrm{N}}{10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}=48\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$

Kiekvienas kilnojamasis skridinys jėgos laimi 2 kartus, o abu kartu $2\cdot 2=4$ kartus.

b) Pagal auksinę mechanikos taisyklę kiekvienu kilnojamuoju skridiniu kelio pralaimima 2 kartus. Pirmajam kroviniui nusileidus $40\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,4}\mathrm{m}$, viršutinis kilnojamasis skridinys pakyla $\mathrm{0,4}\mathrm{m}:2=\mathrm{0,2}\mathrm{m}$, o apatinis (su antruoju kroviniu) pakyla dar 2 kartus mažiau: $\mathrm{0,2}\mathrm{m}:2=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$.

Patikra: jėgos laimima 4 kartus, kelio pralaimima 4 kartus: $\mathrm{0,4}\mathrm{m}:4=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$; $120\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,4}\mathrm{m}=480\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,1}\mathrm{m}=48\mathrm{J}$.

a) Be trinties nuožulniąja plokštuma jėgos laimima tiek kartų, kiek kartų jos ilgis didesnis už aukštį:

$$\frac{l}{h}=\frac{3\mathrm{m}}{\mathrm{0,75}\mathrm{m}}=4.$$

b) Krovinio sunkio jėga $F_{\mathrm{s}}=120\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=1200\mathrm{N}$, todėl

$$F=\frac{F_{\mathrm{s}}}{4}=\frac{1200\mathrm{N}}{4}=300\mathrm{N}\mathrm{.}$$

(Arba iš $F\cdot l=F_{\mathrm{s}}\cdot h$: $F={\displaystyle \frac{1200\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,75}\mathrm{m}}{3\mathrm{m}}}=300\mathrm{N}$.)

a) Energijos nuostolių nėra, todėl stumiančiojo darbas lygus darbui, reikalingam statinei pakelti:

$$F\cdot l=F_{\mathrm{s}}\cdot h,h=\frac{F\cdot l}{F_{\mathrm{s}}}=\frac{300\mathrm{N}\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{m}}{750\mathrm{N}}=1\mathrm{m}\mathrm{.}$$

b) Žmogus stumia statinę visu lentos ilgiu:

$$A=F\cdot l=300\mathrm{N}\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{m}=750\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Patikra: tiek pat darbo reikia statinei pakelti tiesiai aukštyn, $750\mathrm{N}\cdot 1\mathrm{m}=750\mathrm{J}$.

Dėžės sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}}=25\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=250\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Kad dėžė be trinties judėtų plokštuma pastoviu greičiu, virvė turi ją traukti jėga, lygiagrečia plokštumai:

$$F\cdot l=F_{\mathrm{s}}\cdot h,F=\frac{F_{\mathrm{s}}\cdot h}{l}=\frac{250\mathrm{N}\cdot 2\mathrm{m}}{5\mathrm{m}}=100\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Nekilnojamasis skridinys tik pakeičia jėgos kryptį, todėl virvę iš kitos pusės tempia pakabintas krovinys, kurio sunkio jėga taip pat turi būti $100\mathrm{N}$:

$$m=\frac{100\mathrm{N}}{10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}=10\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$

Nekilnojamuoju skridiniu virvės galas nueina tiek pat, kiek pakyla kibiras: $s=h=6\mathrm{m}$.

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=38\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 6\mathrm{m}=2280\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$A_{\mathrm{v}}=F\cdot s=400\mathrm{N}\cdot 6\mathrm{m}=2400\mathrm{J}\mathrm{.}$$

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{2280\mathrm{J}}{2400\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}=95\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

Krovinio sunkio jėga:

$$F_{\mathrm{s}}=mg=120\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=1200\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Trinties ir sverto masės nepaisome, todėl galioja auksinė mechanikos taisyklė:

$$F_{\mathrm{s}}\cdot h=F\cdot s,s=\frac{F_{\mathrm{s}}\cdot h}{F}=\frac{1200\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,15}\mathrm{m}}{400\mathrm{N}}=\mathrm{0,45}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Jėgos laimime 3 kartus, todėl kelio pralaimime 3 kartus: $\mathrm{0,15}\mathrm{m}\cdot 3=\mathrm{0,45}\mathrm{m}$.

Aukštis nežinomas, pažymėkime jį $h$. Kilnojamuoju skridiniu virvės galas nueina $s=2h$.

$$A_{\mathrm{n}}=mgh,A_{\mathrm{v}}=F\cdot 2h\mathrm{.}$$

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}=\frac{mgh}{F\cdot 2h}=\frac{mg}{2F}\mathrm{.}$$

Aukštis susiprastina. Kai $\eta =80\mathrm{\%}=\mathrm{0,8}$:

$$F=\frac{mg}{2\eta }=\frac{48\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}{2\cdot \mathrm{0,8}}=\frac{480\mathrm{N}}{\mathrm{1,6}}=300\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Be trinties pakaktų $240\mathrm{N}$; dėl nuostolių reikia didesnės jėgos.

Visas atliktas darbas $A_{\mathrm{v}}=\mathrm{1,5}\mathrm{k}\mathrm{J}=1500\mathrm{J}$.

Naudingasis darbas (kroviniui pakelti į $2\mathrm{m}$ aukštį):

$$A_{\mathrm{n}}=mgh=60\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}=1200\mathrm{J}\mathrm{.}$$

a) Likusi viso darbo dalis atliekama trinčiai nugalėti:

$$A_{\mathrm{v}}-A_{\mathrm{n}}=1500\mathrm{J}-1200\mathrm{J}=300\mathrm{J}\mathrm{.}$$

b) Krovinys traukiamas visu plokštumos ilgiu, $A_{\mathrm{v}}=F\cdot l$:

$$F=\frac{A_{\mathrm{v}}}{l}=\frac{1500\mathrm{J}}{5\mathrm{m}}=300\mathrm{N}\mathrm{.}$$

c)

$$\eta =\frac{A_{\mathrm{n}}}{A_{\mathrm{v}}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{1200\mathrm{J}}{1500\mathrm{J}}\cdot 100\mathrm{\%}=80\mathrm{\%}\mathrm{.}$$

d) Trintis nugalima visu plokštumos ilgiu, todėl trinčiai nugalėti atliktas darbas $F_{\mathrm{t}\mathrm{r}}\cdot l$:

$$F_{\mathrm{t}\mathrm{r}}=\frac{300\mathrm{J}}{5\mathrm{m}}=60\mathrm{N}\mathrm{.}$$