Matematinės švytuoklės modelis

Žymėjimai: $l$ – siūlo ilgis, $r$ – rutuliuko spindulys, $V$ – rutuliuko tūris, $m$ – rutuliuko masė, $M$ – siūlo masė; indeksas 1 – pirmoji švytuoklė, 2 – antroji.

Matematinės švytuoklės modelis tinka, kai rutuliuko matmenys daug mažesni už siūlo ilgį ($r\ll l$), o siūlo masė daug mažesnė už rutuliuko masę ($M\ll m$). Kuo mažesni santykiai ${\displaystyle \frac{r}{l}}$ ir ${\displaystyle \frac{M}{m}}$, tuo švytuoklė geriau atitinka modelį.

Antrosios švytuoklės siūlas 2 kartus ilgesnis, o rutuliukas 4 kartus sunkesnis: $l_2=2l_1$, $m_2=4m_1$.

1. Santykis ${\displaystyle \frac{r}{l}}$. Rutuliukai pagaminti iš tos pačios medžiagos, todėl 4 kartus sunkesnio rutuliuko tūris irgi 4 kartus didesnis: $V_2=4V_1$. Rutulio tūris $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$, todėl

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{4}{3}\pi r_2^3}{\frac{4}{3}\pi r_1^3}={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^3=4\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{4}\approx \mathrm{1,6.}$$

Siūlas pailgėjo 2 kartus, o rutuliuko spindulys padidėjo tik apie 1,6 karto, todėl

$$\frac{r_2}{l_2}<\frac{r_1}{l_1}\mathrm{.}$$

2. Santykis ${\displaystyle \frac{M}{m}}$. Siūlas tas pats, tik 2 kartus ilgesnis, todėl $M_2=2M_1$:

$$\frac{M_2}{m_2}=\frac{2M_1}{4m_1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{M_1}{m_1}\Rightarrow \frac{M_2}{m_2}<\frac{M_1}{m_1}\mathrm{.}$$

Abu santykiai antrosios švytuoklės mažesni, todėl ji geriau atitinka modelį.

a) Rutuliuką veikia sunkio jėga $F_{\mathrm{s}}$ (žemyn) ir siūlo tamprumo jėga $F_{\mathrm{t}}$ (aukštyn).

b) Duota: $m=\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$$F_{\mathrm{s}}=m\cdot g=\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=3\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Rutuliukas yra rimties būsenoje, todėl jėgos viena kitą atsveria: $F_{\mathrm{t}}=F_{\mathrm{s}}=3\mathrm{N}$.

c) Jėgos lygios ir priešingų krypčių, todėl jų atstojamoji $F_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{s}}=0$.

Atlenktą švytuoklę veikia tik dvi jėgos: sunkio jėga $F_{\mathrm{s}}$ ir siūlo tamprumo jėga $F_{\mathrm{t}}$. Grąžinančioji jėga $F$ nėra trečia jėga: tai sunkio jėgos dalis, statmena siūlui ir nukreipta į pusiausvyros padėtį.

Kai švytuoklė kerta pusiausvyros padėtį, abi jėgos ją tebeveikia, tik grąžinančioji jėga lygi nuliui. Rutuliukas ten nesustoja, nes juda iš inercijos.

Jėgų atstojamoji pusiausvyros padėtyje nelygi nuliui: rutuliukas juda lanku, todėl $F_{\mathrm{t}}$ didesnė už $F_{\mathrm{s}}$. Jėgų atstojamoji $F_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{s}}$ nukreipta išilgai siūlo į pakabinimo tašką ir keičia tik rutuliuko judėjimo kryptį.

a) Kuo rutuliukas arčiau pusiausvyros padėties, tuo mažesnė grąžinančioji jėga; pusiausvyros padėtyje ji lygi nuliui.

b) Grąžinančioji jėga nukreipta į pusiausvyros padėtį, todėl rutuliukas juda vis greičiau.

c) Rutuliukas leidžiasi žemyn, todėl potencinė energija mažėja.

d) Greitis didėja, todėl kinetinė energija didėja: potencinė energija virsta kinetine.

Duota: $m=30\mathrm{k}\mathrm{g}$, $h=\mathrm{0,8}\mathrm{m}$.

$$E_{\mathrm{p}}=m\cdot g\cdot h=30\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{m}=240\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Trinties ir oro pasipriešinimo nepaisome, todėl žemiausiame taške visa potencinė energija jau virto kinetine: $E_{\mathrm{k}}=240\mathrm{J}$.

$$E_{\mathrm{k}}=\frac{m{v}^2}{2}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2E_{\mathrm{k}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 240\mathrm{J}}{30\mathrm{k}\mathrm{g}}}=\sqrt{16{\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}=4\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\mathrm{.}$$

Kinetinė energija didžiausia, kai rutuliukas praeina pusiausvyros padėtį. Per vieną periodą jis ją praeina 2 kartus.

Per $6\mathrm{s}$ švytuoklė atlieka

$$N=\frac{t}{T}=\frac{6\mathrm{s}}{\mathrm{1,5}\mathrm{s}}=4$$

svyravimus, todėl kinetinė energija didžiausia būna

$$4\cdot 2=8\text{ kartus}\mathrm{.}$$

Laikome, kad abiem atvejais rutuliukas svyruoja, o siūlas lieka įtemptas. Trinties ir oro pasipriešinimo nepaisome: grįžties taške rutuliukas sustoja, todėl visa kinetinė energija virsta potencine:

$$m\cdot g\cdot h=\frac{m{v}^2}{2}\Rightarrow h=\frac{v^2}{2g}\mathrm{.}$$

Aukštis proporcingas greičio kvadratui. Greitis 3 kartus didesnis, todėl aukštis $3^2=9$ kartus didesnis:

$$h=9\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}=45\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{.}$$

Jei nėra trinties ir oro pasipriešinimo, švytuoklės mechaninė energija nekinta. Todėl paleista be pradinio greičio švytuoklė pakyla į tą patį aukštį, iš kurio buvo paleista, o realiomis sąlygomis – šiek tiek žemiau.

Kad švytuoklė pakiltų aukščiau, jai reikia suteikti papildomos energijos. Atlenkta švytuoklė jau turi potencinės energijos, o stumtelėdami suteikiame jai dar ir kinetinės energijos, todėl ji pakyla aukščiau.

Duota: $m=100\mathrm{g}=\mathrm{0,1}\mathrm{k}\mathrm{g}$, $a=2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$.

Grįžties taške rutuliuko greitis lygus nuliui ($v=0$), todėl tą akimirką jis neturi įcentrinio pagreičio. Siūlo tamprumo jėga tik atsveria sunkio jėgos dalį išilgai siūlo, todėl jėgų atstojamoji lygi grąžinančiajai jėgai:

$$F_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{s}}=F\mathrm{.}$$

Pagal antrąjį Niutono dėsnį:

$$F=F_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{s}}=m\cdot a=\mathrm{0,1}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=\mathrm{0,2}\mathrm{N}\mathrm{.}$$

Duota: $m=3\mathrm{k}\mathrm{g}$, $v=8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$, $E_{\mathrm{p}}=36\mathrm{J}$.

Pusiausvyros padėtyje $E_{\mathrm{p}}=0$, todėl visa rutulio energija yra kinetinė:

$$E=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{3\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}{)}^2}{2}=96\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Trinties ir oro pasipriešinimo nepaisome, todėl $E_{\mathrm{p}}+E_{\mathrm{k}}$ nekinta:

$$E_{\mathrm{k}}=E-E_{\mathrm{p}}=96\mathrm{J}-36\mathrm{J}=60\mathrm{J}\mathrm{.}$$

a) Švytuoklę išjudino vieną kartą, toliau ji svyruoja pati – svyravimas laisvasis. Amplitudė mažėja – svyravimas slopinamasis.

b) Duota: $m=200\mathrm{g}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}$, $h_1=20\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,2}\mathrm{m}$, $h_2=15\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,15}\mathrm{m}$.

Grįžties taškuose rutuliukas nejuda, todėl ten visa jo mechaninė energija yra potencinė:

$$E_{\mathrm{p}1}=m\cdot g\cdot h_1=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,2}\mathrm{m}=\mathrm{0,4}\mathrm{J},$$

$$E_{\mathrm{p}2}=m\cdot g\cdot h_2=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{0,15}\mathrm{m}=\mathrm{0,3}\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Vidine energija virto

$$E_{\mathrm{p}1}-E_{\mathrm{p}2}=\mathrm{0,4}\mathrm{J}-\mathrm{0,3}\mathrm{J}=\mathrm{0,1}\mathrm{J}\mathrm{.}$$