Šilumos balanso lygtis ir jos taikymas

Mases paverčiame kilogramais: $m_1=200\mathrm{g}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}$, $m_2=300\mathrm{g}=\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Karštesnio vandens šilumos kiekis:

$$Q_1=c\cdot m_1\cdot (t-t_1)$$

$$Q_1=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (36\text{°C}-60\text{°C})=-20160\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Šaltesnio vandens šilumos kiekis:

$$Q_2=c\cdot m_2\cdot (t-t_2)$$

$$Q_2=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (36\text{°C}-20\text{°C})=20160\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Minuso ženklas rodo, kad karštesnis vanduo šilumą atidavė. Kiek šilumos jis atidavė, tiek gavo šaltesnis vanduo:

$$Q_1+Q_2=-20160\mathrm{J}+20160\mathrm{J}=0.$$

Vonioje esantis vanduo gavo šilumos kiekį:

$$Q_2=c\cdot m_2\cdot (t-t_2)=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot 100\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (35\text{°C}-15\text{°C})=8400000\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Iš $Q_1+Q_2=0$ karštas vanduo atidavė $Q_1=-Q_2=-8400000\mathrm{J}$. Iš formulės $Q_1=c\cdot m_1\cdot (t-t_1)$ išreiškiame masę:

$$m_1=\frac{Q_1}{c\cdot (t-t_1)}$$

$$m_1=\frac{-8400000\mathrm{J}}{4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot (35\text{°C}-60\text{°C})}=80\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$

Vandens masė $m_2=300\mathrm{g}=\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}$. Vanduo gavo šilumos kiekį:

$$Q_2=c_2\cdot m_2\cdot (t-t_2)=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (37\text{°C}-18\text{°C})=23940\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Iš $Q_1+Q_2=0$ ritinėlis atidavė $Q_1=-Q_2=-23940\mathrm{J}$. Iš formulės $Q_1=c_1\cdot m_1\cdot (t-t_1)$ išreiškiame savitąją šilumą:

$$c_1=\frac{Q_1}{m_1\cdot (t-t_1)}$$

$$c_1=\frac{-23940\mathrm{J}}{1\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (37\text{°C}-100\text{°C})}=380\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\mathrm{.}$$

Lentelėje tokia savitoji šiluma yra vario.

Mases paverčiame kilogramais: arbatos $m_1=200\mathrm{g}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}$, vandens $m_2=100\mathrm{g}=\mathrm{0,1}\mathrm{k}\mathrm{g}$. Arbatos ir vandens savitoji šiluma vienoda: $c=4200\mathrm{J}\mathrm{/}(\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{°}\mathrm{C})$.

Iš šilumos balanso lygties $Q_1+Q_2=0$ išvesta galinės temperatūros formulė:

$$t=\frac{c_1\cdot m_1\cdot t_1+c_2\cdot m_2\cdot t_2}{c_1\cdot m_1+c_2\cdot m_2}$$

$$t=\frac{4200\cdot \mathrm{0,2}\cdot 90+4200\cdot \mathrm{0,1}\cdot 15}{4200\cdot \mathrm{0,2}+4200\cdot \mathrm{0,1}}\text{°C}=\frac{75600+6300}{840+420}\text{°C}=\frac{81900}{1260}\text{°C}=65\text{°C}\mathrm{.}$$

Mases paverčiame kilogramais: $m_1=m_2=200\mathrm{g}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}$. Aliuminio savitoji šiluma $c_1=900\mathrm{J}\mathrm{/}(\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{°}\mathrm{C})$, vandens $c_2=4200\mathrm{J}\mathrm{/}(\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{°}\mathrm{C})$.

$$t=\frac{c_1\cdot m_1\cdot t_1+c_2\cdot m_2\cdot t_2}{c_1\cdot m_1+c_2\cdot m_2}$$

$$t=\frac{900\cdot \mathrm{0,2}\cdot 88+4200\cdot \mathrm{0,2}\cdot 20}{900\cdot \mathrm{0,2}+4200\cdot \mathrm{0,2}}\text{°C}=\frac{15840+16800}{180+840}\text{°C}=\frac{32640}{1020}\text{°C}=32\text{°C}\mathrm{.}$$

Aliuminis atidavė tiek šilumos, kiek gavo vanduo. Aliuminio savitoji šiluma daug mažesnė, todėl jo temperatūra pakito daug daugiau ($56\text{°C}$) nei vandens ($12\text{°C}$). Temperatūra būtų per vidurį ($54\text{°C}$) tik sumaišius vienodas tos pačios medžiagos mases.

Varžto masė $m_1=250\mathrm{g}=\mathrm{0,25}\mathrm{k}\mathrm{g}$, plieno savitoji šiluma (iš lentelės) $c_1=460\mathrm{J}\mathrm{/}(\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{°}\mathrm{C})$. Krosnyje ilgai kaitinto varžto temperatūra lygi krosnies temperatūrai $t_1$.

Vanduo gavo šilumos kiekį:

$$Q_2=c_2\cdot m_2\cdot (t-t_2)=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (38\text{°C}-15\text{°C})=77280\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Iš $Q_1+Q_2=0$ varžtas atidavė $Q_1=-Q_2=-77280\mathrm{J}$. Iš formulės $Q_1=c_1\cdot m_1\cdot (t-t_1)$ išreiškiame temperatūros pokytį:

$$t-t_1=\frac{Q_1}{c_1\cdot m_1}=\frac{-77280\mathrm{J}}{460\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{0,25}\mathrm{k}\mathrm{g}}=-672\text{°C}\mathrm{.}$$

Varžto temperatūra nukrito $672\text{°C}$ iki $38\text{°C}$, todėl pradinė jo temperatūra:

$$t_1=38\text{°C}+672\text{°C}=710\text{°C}\mathrm{.}$$

Vandens tūrius paverčiame kubiniais metrais ($1\mathrm{\ell }=1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=({10}^{-1}\mathrm{m}{)}^3={10}^{-3}{\mathrm{m}}^3$) ir randame mases:

$$m_1=\rho \cdot V_1=1000\frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^3}\cdot 60\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3=60\mathrm{k}\mathrm{g},$$

$$m_2=\rho \cdot V_2=1000\frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^3}\cdot 150\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3=150\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$

Į aplinką pateko $15\mathrm{\%}$ karšto vandens atiduoto šilumos kiekio, todėl šaltas vanduo gavo tik $85\mathrm{\%}$ jo:

$$Q_2=-\mathrm{0,85}\cdot Q_1,\text{t. y.}\mathrm{0,85}\cdot Q_1+Q_2=0.$$

Įrašome šilumos kiekių formules (vandens savitoji šiluma $c$ abiem vienoda):

$$\mathrm{0,85}\cdot c\cdot m_1\cdot (t-t_1)+c\cdot m_2\cdot (t-t_2)=0$$

$$\mathrm{0,85}\cdot 4200\cdot 60\cdot (t-90)+4200\cdot 150\cdot (t-23)=0\mathrm{\mid }:4200$$

$$51\cdot (t-90)+150\cdot (t-23)=0$$

$$51t-4590+150t-3450=0$$

$$201t=8040,t=40\text{°C}\mathrm{.}$$

Kai šilumos nuostolių nėra, $Q_1+Q_2=0$, todėl $Q_1=-Q_2=-8400\mathrm{J}$. Minuso ženklas rodo, kad metalo gabalas šilumą atidavė.

a) Šiluma savaime perduodama iš karštesnio kūno į šaltesnį, todėl varinis ($90\text{°C}$) kubelis šilumos kiekį atidavė, o aliuminio ($30\text{°C}$) gavo.

b) Varinio kubelio temperatūra pakito $90\text{°C}-50\text{°C}=40\text{°C}$ (nukrito), aliuminio $50\text{°C}-30\text{°C}=20\text{°C}$ (pakilo).

c) Atidavęs šilumą, varinis kubelis vidinės energijos neteko, o aliuminio kubelio vidinė energija padidėjo.

d) Kiek šilumos atidavė varinis kubelis, tiek gavo aliuminio (nuostolių nėra), todėl $Q_1+Q_2=0$.

Mases paverčiame kilogramais: plokštelės $m_1=250\mathrm{g}=\mathrm{0,25}\mathrm{k}\mathrm{g}$, vandens $m_2=200\mathrm{g}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Vanduo gavo šilumos kiekį:

$$Q_2=c_2\cdot m_2\cdot (t-t_2)=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (30\text{°C}-15\text{°C})=12600\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Iš $Q_1+Q_2=0$ plokštelė atidavė $Q_1=-Q_2=-12600\mathrm{J}$. Iš formulės $Q_1=c_1\cdot m_1\cdot (t-t_1)$ išreiškiame savitąją šilumą:

$$c_1=\frac{Q_1}{m_1\cdot (t-t_1)}$$

$$c_1=\frac{-12600\mathrm{J}}{\mathrm{0,25}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (30\text{°C}-90\text{°C})}=840\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\mathrm{.}$$

Verdantis vanduo atidavė šilumos kiekį:

$$Q_1=c\cdot m_1\cdot (t-t_1)=4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot \mathrm{1,5}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (30\text{°C}-100\text{°C})=-441000\mathrm{J}\mathrm{.}$$

Iš $Q_1+Q_2=0$ šaltas vanduo gavo $Q_2=-Q_1=441000\mathrm{J}$. Iš formulės $Q_2=c\cdot m_2\cdot (t-t_2)$ išreiškiame masę:

$$m_2=\frac{Q_2}{c\cdot (t-t_2)}$$

$$m_2=\frac{441000\mathrm{J}}{4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \text{°C}}\cdot (30\text{°C}-9\text{°C})}=5\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$